Memoritzar el mètode de Schröder com a estratègia eficient per estimar les arrels de la multiplicitat desconeguda

Resum:

En aquest article, proposem, segons el que sabem, el primer esquema iteratiu amb memòria per trobar arrels de les quals es desconeix la multiplicitat existent a la literatura. Millora l'eficiència d'un procediment similar sense memòria a causa de Schröder i es pot considerar com una llavor per generar mètodes d'ordre superior amb característiques similars. Un cop estudiat el seu ordre de convergència, s'analitza la seva estabilitat mostrant les seves bones propietats, i es compara numèricament pel que fa a les seves conques d'atracció amb esquemes similars sense memòria per trobar arrels múltiples.

La memòria és una part important de la intel·ligència humana i una necessitat per a l'aprenentatge, el pensament, la creació i la vida humans. Però moltes persones troben que la seva memòria és insuficient i sovint obliden coses importants. La qualitat de la memòria està estretament relacionada amb la iteració de la memòria.

L'anomenada iteració de la memòria fa referència a l'enfortiment i consolidació continus de la memòria en el procés d'aprenentatge repetit d'un determinat punt de coneixement o habilitat, i finalment transformada en memòria a llarg termini. Aquest procés no només ajuda a consolidar els records sinó que també millora la quantitat i qualitat dels mateixos.

Aleshores, com repetir bé la memòria? En primer lloc, cal entendre completament el contingut de l'aprenentatge. Només mitjançant una comprensió profunda es pot imprimir veritablement el coneixement a la ment i evitar l'oblit. En segon lloc, segueix revisant. Revisar repetidament el coneixement après ajuda el cervell a aprofundir en la impressió de reconeixement, raonament i comprensió del coneixement, millorant així la memòria a llarg termini. Finalment, utilitzeu diversos mètodes per ajudar a iterar a la memòria. Per exemple, podeu aprofundir en la vostra memòria fent mapes mentals, repetint, etc.

En definitiva, la memòria iterativa és un procés complex i important que requereix un esforç i persistència continuats. Només tractant la memòria iterativa com una forma de vida i integrant-la en tots els aspectes de l'estudi, la feina i la vida diària podem millorar contínuament la nostra memòria, permetre'ns afrontar millor els reptes complexos d'aprenentatge i treball, i mostrar un nou estil personal. La pasta de carn és un material medicinal tradicional xinès que té molts efectes únics, un dels quals és la millora de la memòria. L'eficàcia de la carn picada prové d'una varietat d'ingredients actius que conté, com l'àcid carboxílic, polisacàrids, flavonoides, etc. Aquests ingredients poden promoure la salut del cervell a través de diversos canals.

Feu clic a Coneix 10 maneres de millorar la memòria

Paraules clau:

Equacions no lineals; mètodes iteratius amb memòria; arrels múltiples; lliure de derivats; eficiència; estabilitat.

1. Introducció

Existeixen a la literatura (vegeu, per exemple, Referència [1–8]) nombrosos mètodes iteratius sense memòria, que impliquen derivades o no, dissenyats per estimar les arrels múltiples d'una equació no lineal f(x)=0, però la majoria d'ells necessiten el coneixement de la multiplicitat m d'aquestes arrels.

És ben conegut que el mètode de Schröder [9]:

al ser un paràmetre real, requereix 4 avaluacions de funcions per pas i ja no està lliure de derivades. Aquest mètode de Traub-Steffensen sobre g és massa car i no es considera més.

El principal avantatge de l'esquema de Schröder és la seva independència del coneixement de la multiplicitat de la funció no lineal, en contrast amb el mètode de Newton modificat per a arrels múltiples,

on m és la multiplicitat de , que s'ha de conèixer en aquest cas. Aquest esquema també es va deure a Schröder (vegeu també Referència [9]), i el denotem amb SM2. Aquest esquema és convergent de segon ordre i, per tant, òptim, en el sentit de la conjectura de Kung-Traub, (ja que utilitza dues noves avaluacions funcionals per iteració; vegeu Referència [10]). Tanmateix, necessita el coneixement de la multiplicitat, mentre que SM1 no l'utilitza; no obstant això, el principal inconvenient de l'esquema SM1 és la seva baixa eficiència, ja que necessita avaluar tres funcions no lineals (f(x), f 0 (x) i f 00(x)) per iteració.

El nostre objectiu en aquest manuscrit és doble: d'una banda, ens agradaria augmentar l'eficiència de l'esquema SM1, mantenint la seva capacitat per trobar múltiples arrels de la multiplicitat m sense conèixer m i, de l'altra, combinar en el mateix algorisme. la capacitat de trobar múltiples arrels amb l'ús de més d'una iteració anterior. Per tant, proposem un esquema iteratiu amb memòria per estimar arrels múltiples de multiplicitat desconeguda. Pel que sabem, no hi ha a la literatura cap procediment iteratiu que satisfaci aquestes propietats.

En l'anàlisi de la convergència de l'esquema proposat cal tenir en compte alguns aspectes, ja que és un mètode iteratiu amb memòria per la qual cosa s'ha de tenir en compte l'error en diverses iteracions anteriors i la multiplicitat de l'arrel m també hauria de ser un element clau. de la manifestació, tot i que no se'n coneix el valor concret. Respecte a aquest fet, cal tenir en compte que f (q) ( ) {{0}} per q=1, 2, . . . , m − 1 i f (m) ( ) 6= 0. Per tant, les expansions de Taylor al voltant de f i f 0 que apareixen a l'expressió iterativa haurien de tenir en compte aquesta informació.

D'altra banda, com que el nostre esquema proposat és un procediment iteratiu que utilitza tres iteracions anteriors per calcular la següent, cal expressar l'equació d'error en funció dels seus errors corresponents i, a partir d'ella, deduir-ne l'ordre de convergència. Això es fa utilitzant un resultat clàssic d'Ortega i Rheinboldt [11], que es presenta a continuació.

Teorema 1. Sigui ψ un mètode iteratiu amb memòria que genera una seqüència {xk} d'aproximacions a l'arrel , i que aquesta seqüència convergi a . Si existeix una constant diferent de zero η i nombres positius ti, i=0, 1, . . . , m, tal que la desigualtat

En aquest manuscrit, la secció 2 està dedicada al disseny i anàlisi de convergència del mètode iteratiu lliure de derivats proposat amb memòria per trobar arrels múltiples (sense conèixer la seva multiplicitat). A la secció 3, s'analitza la seva estabilitat per deduir la seva dependència de les estimacions inicials tant per a arrels simples com per a arrels múltiples. A la secció 4, es comprova el rendiment numèric del mètode en diverses funcions de prova, sent analitzades, així com les seves corresponents conques d'atracció, en comparació amb els mètodes de Schröder existents.

2. Disseny i anàlisi de convergència

El nostre punt de partida és l'esquema lliure de derivades amb memòria degut a Traub [12],

El principal avantatge d'aquest esquema és la seva capacitat per trobar arrels simples, així com múltiples, d'una funció no lineal sense el coneixement de la multiplicitat, amb millor eficiència que SM1. Certament, utilitzant l'índex d'eficiència d'Ostrowski [13], ISM1=2 1 3 ≈ 1,25992 és inferior a IgTM=1.841 2 ≈ 1,35647, on cada índex I es calcula com a p 1 d, amb p sent l'ordre de convergència del mètode, i d la quantitat de noves avaluacions funcionals per iteració.

En el següent apartat, es fa una anàlisi dinàmica d'aquest esquema, per mostrar el seu rendiment qualitatiu en arrels simples i múltiples. Com que es tracta d'un mètode iteratiu amb memòria, cal utilitzar dinàmiques reals multidimensionals.

3. Estudi qualitatiu dels mètodes iteratius proposats amb memòria per arrel múltiple

Observem que el nostre mètode utilitza tres iteracions anteriors per generar la següent; per tant, es pot expressar en general a

on x0, x−1 i x−2 són les estimacions inicials. Utilitzant el procediment definit a la referència [14], aquest mètode es pot descriure com un sistema dinàmic multidimensional real discret i es pot analitzar el seu comportament qualitatiu.

El rendiment qualitatiu del sistema dinàmic té un element clau en la caracterització dels seus punts fixos, pel que fa a l'estabilitat. Per calcular els punts fixos d'1 SF Υ, es pot definir una funció vectorial auxiliar M: R3 −→ R3, relacionada amb 1 SF Υ utilitzant:

A més, si existeix un valor propi λi de la matriu jacobiana M{{0}} avaluat en un punt fix x ∗ que compleix |λi|< 1 i un altre λj tal que |λj|> 1, doncs, x ∗ s'anomena punt fix. Com a extensió del concepte en dinàmica unidimensional, si els valors propis de M0 (x ∗ ) compleixen |λj |=0 per a tots els valors de j=1, 2, . . . , m, doncs, el punt fix x ∗ no només és atractiu sinó també superatriu. Per tant, el mètode té convergència quadràtica, almenys en la classe de funcions no lineals que deriven la funció racional (vegeu Referència [12]).

En considerar x ∗ un punt fix atractiu de M, la seva conca d'atracció A(x ∗ ) es defineix com el conjunt de preimatges de qualsevol ordre

El rendiment qualitatiu de diferents esquemes iteratius dissenyats per resoldre equacions no lineals amb arrels múltiples ha estat estudiat per diferents autors (vegeu, per exemple, Referència [17-19]). S'ha fet utilitzant dinàmiques complexes discretes, ja que tots aquests esquemes no tenen memòria. En aquests estudis, s'ha obtingut que, quan un mètode iteratiu (sense memòria) dissenyat per trobar arrels múltiples actua sobre una funció no lineal amb arrels simples i múltiples, és força habitual que les conques d'atracció d'arrels simples siguin més estretes que els de múltiples arrels. De fet, aquestes arrels simples poden definir punts fixos de la funció racional que són repulsius. Per tant, el mètode iteratiu hauria de ser capaç de trobar només arrels múltiples.

La següent anàlisi qualitativa es fa a p(x)=(x + 1)(x − 1) m, m Major o igual a 1 de manera que la capacitat de l'esquema de trobar tant simple com Es prova múltiples arrels (amb multiplicitat m).

Una eina molt útil per visualitzar els resultats analítics és el pla dinàmic del sistema, compost per un conjunt de diferents conques d'atracció. Aquí, el pla dinàmic del mètode proposat gTM es construeix calculant l'òrbita d'una malla de 800 × 800 punts de partida (z, x) per a un valor fix de w a la graella inicial. Com que els esquemes iteratius s'han de començar amb tres estimacions inicials, generem una malla de plans dinàmics, cadascun d'ells amb un valor fix de w en l'interval [−1,75, 1,75]. En aquests retrats de fase, cada punt de la malla està pintat de diferents colors (taronja i verd en aquest cas), en funció de l'atractor al qual convergeixen (marcat com una estrella blanca), amb una tolerància de 10−3. A més, apareixen en negre si l'òrbita no ha arribat a cap punt fix atractiu en un màxim de 500 iteracions. Com que el valor fix de w es canvia en un vector de valors que pertany a [−1,75, 1,75], produeix una composició de figures per a cada multiplicitat, donant lloc a una mena de traçat de contorns.

A la figura 1, mostrem el rendiment de l'esquema gTM en p(x), és a dir, de l'operador racional TM per a arrels simples. Observant el comportament de les diferents trames amb les tres primeres iteracions variant cadascuna a [−2, 2], es nota la viabilitat estable. Les conques d'atracció de les arrels són les úniques; són amples, i l'únic rendiment diferent (millor que altres pel que fa a la simplicitat del límit entre les conques) és el cas w=0, on la funció racional es simplifica. En tots els casos, s'observa que l'únic comportament possible del mètode gTM és la convergència a les arrels.

D'altra banda, a la figura 2, mostrem un rendiment molt similar quan una de les arrels és doble i l'altra simple. Les conques d'atracció són igualment amples, i aquest comportament és molt similar quan s'han explorat altres multiplicitats. A més, en aquest cas es pot observar que només hi ha convergència cap a les arrels, ja que les zones més fosques només tenen una convergència més lenta, a causa de la major complexitat del límit de les conques d'atracció.

4. Rendiment numèric i proves dinàmiques

En aquesta secció, comparem tres mètodes, a saber, SM2 (que requereix el coneixement de la multiplicitat), SM1 i gTM (derivat del mètode de Traub). Els dos últims mètodes no requereixen el coneixement de la multiplicitat, però sí que requereixen avaluacions funcionals addicionals per pas d'iteració (tres en el cas de SM1, dos en el cas de gTM).

Els mètodes es comparen tant qualitativament mitjançant les conques d'atracció com quantitativament mitjançant diverses mesures. Aquestes mesures són el temps d'execució de la CPU per executar el mètode en punts d'un quadrat de 6 per 6 centrat a l'origen. Vam dividir el quadrat per línies horitzontals i verticals uniformement distribuïdes i vam prendre tots els punts d'intersecció com a punts inicials per al procés iteratiu.

Per a TM, un mètode amb memòria, vam haver de prendre dos punts de partida addicionals x−1=x0 + d i x−2=x0 + 2d, on d és el espaiat de les línies. Un altre criteri que recull el codi és el nombre mitjà d'iteracions per punt (AIPP), però, com que els mètodes requereixen un nombre diferent d'avaluacions funcionals per pas, hem pres el nombre mitjà de funcions per punt (AFPP). El tercer criteri és el nombre de punts divergents (DP), que és el nombre de punts per als quals el mètode no va convergir en 40 iteracions utilitzant una tolerància de 10−7.

A partir de la figura 3, és evident que SM1 i SM2 tenen conques similars i gTM té més lòbuls al límit entre les dues conques. A la figura 4, observem que gTM és millor que SM1. A les 3 xifres següents, gTM és el millor, amb conques d'atracció més amples i zones negres més estretes sense convergència cap a les arrels. Aquest rendiment es manté fins i tot per a la funció no polinòmica f5. A més, a la figura 8, es pot observar que les conques d'atracció del mètode SM2 són més amples que el nostre mètode gTM.

Ens referim ara a les dades de les taules 1-3. El temps d'execució de la CPU en segons es mostra a la Taula 2. SM2 és constantment més ràpid que els altres. Si no es coneix la multiplicitat, aleshores gTM és més ràpid que SM1, excepte el primer exemple. De mitjana, gTM és més ràpid que SM1.

El nombre mitjà d'avaluacions de funcions per punt (vegeu la taula 2) és el més alt per a SM1 per a tots els exemples. Tingueu en compte que l'últim exemple és el més difícil per a tots els mètodes. El nombre de punts divergents és el més baix per a gTM per als exemples 1, 3 i 4. SM1 té els punts més divergents per als 6 primers exemples, però, en l'últim exemple, gTM va tenir un mal rendiment i es va convertir en el tercer lloc general. El mètode SM2 va ser el millor, de mitjana, per a les 3 categories seguit de gTM per a 2 categories.

5. Conclusions

S'ha construït un nou esquema iteratiu amb memòria amb la capacitat de trobar arrels tant simples com múltiples (sense necessitat de conèixer-ne la multiplicitat). És, pel que sabem, el primer mètode amb aquestes propietats a la literatura. S'ha demostrat que el seu ordre de convergència és d'aproximadament 1,84 amb dues noves avaluacions funcionals per iteració; això produeix l'esquema per millorar l'eficiència de l'esquema de Schröder sense memòria SM1, que té propietats similars. Utilitzant dinàmiques discretes reals multidimensionals i polinomis de baix grau amb arrels simples i múltiples, s'ha analitzat l'estabilitat de l'esquema proposat, mostrant àmplies àrees de convergència a ambdós tipus d'arrels.

En l'últim apartat, els mètodes de Schröder i gTM que s'executen amb diversos exemples ens han permès concloure que, si la multiplicitat es coneix per endavant, aleshores, SM1 i gTM no poden competir, tot i que gTM és millor que SM1. Tanmateix, quan no es coneix la multiplicitat, el mètode proposat gTM mostra un rendiment molt bo i una millor eficiència que els mètodes SM1, pel que fa al temps d'execució, el cost computacional i l'amplitud de les conques d'atracció.

Contribucions de l'autor:

Conceptualització, AC i JRT; metodologia, BN; programari, AC i BN; validació, BN; anàlisi formal, JRT; investigació, AC; redacció: preparació de l'esborrany original, AC i BN; redacció: revisió i edició, JRT; supervisió, BN i JRT Tots els autors han llegit i han acceptat la versió publicada del manuscrit.

Finançament:

Aquesta investigació va comptar amb el suport parcial de PGC2018-095896-B-C22 (MCIU/AEI/FEDER, UE).

Declaració de consentiment informat:

No aplicable.

Agraïments:

Els autors volen agrair als revisors anònims els seus suggeriments i comentaris que han millorat la versió final d'aquest manuscrit.

Conflictes d'interès:

Els autors declaren no conflicte d'interessos.

Referències

1. Petkovi´c, M.; Neta, B.; Petkovi´c, L.; Džuni´c, J. Mètodes multipunt per resoldre equacions no lineals; Academic Press: Oxford, Regne Unit, 2013.

2. Amat, S.; Busquier, S. Avenços en mètodes iteratius per a equacions no lineals; SEMA SIMAI Springer Sèrie 10; Springer: Cham, Suïssa, 2016.

3. Behl, R.; Cordero, A.; Torregrosa, JR Un nou esquema òptim sense derivats d'ordre superior per a arrels múltiples. J. Computació. Appl. Matemàtiques. 2021, 113773, en premsa. [Ref creuat]

4. Kumar, S.; Kumar, D.; Sharma, JR; Cesarano, C.; Aggarwal, P.; Chu, YM Un algorisme numèric lliure de derivades de quart ordre òptim per a arrels múltiples. Symmetry 2020, 12, 1038. [CrossRef]

5. Akram, S.; Akram, F.; Junjua, M.; Arshad, M.; Afzal, T. Una família de funció iterativa de vuitè ordre òptima per a arrels múltiples i la seva dinàmica. J. Matemàtiques. 2021, 77, 1249–1272.

6. Sharma, JR; Arora, H. Una família de mètodes iteratius de cinquè ordre per trobar arrels múltiples d'equacions no lineals. Número. Anal. Appl. 2021, 14, 186–199. [Ref creuat]

7. Kumar, S.; Kumar, D.; Sharma, JR; Argyros, IK Una classe eficient de mètode lliure de derivats de quart ordre per a arrels múltiples. Int. J. Ciència no lineal. Número. Simul. 2021. [CrossRef]

8. Zafar, F.; Cordero, A.; Torregrosa, JR Una família de mètodes òptims de quart ordre per a arrels múltiples d'equacions no lineals. Matemàtiques. Mètodes Appl. Ciència. 2020, 43, 7869–7884. [Ref creuat]

9. Schröder, E. Über unendlich viele Algorithmen zur Auflösung der Gleichungen. Matemàtiques. Ann. 1870, 2, 317–365. [Ref creuat]

10. Kung, HT; Traub, JF Ordre òptim d'iteració d'un punt i multipunt. J. Assoc. Informàtica. Mach. 1974, 21, 643–651. [Ref creuat]

11. Ortega, JM; Rheinboldt, WC Solució iterativa d'equacions no lineals en diverses variables; Academic Press: Cambridge, MA, EUA, 1970.

12. Traub, JF Mètodes iteratius per a la solució d'equacions; Prentice-Hall: Hoboken, NJ, EUA, 1964.

13. Ostrowski, AM Solucions d'equacions i sistemes d'equacions; Academic Press: Nova York, NY, EUA; Londres, Regne Unit, 1966.

14. Campos, B.; Cordero, A.; Torregrosa, JR; Vindel, P. Un enfocament dinàmic multidimensional dels mètodes iteratius amb memòria. Appl. Matemàtiques. Informàtica. 2015, 271, 701–715. [Ref creuat]

15. Devaney, RL Una introducció als sistemes dinàmics caòtics; Avenços en Matemàtiques i Enginyeria; CRC Press: Boca Raton, FL, EUA, 2003.

For more information:1950477648nn@gmail.com